Tornin liike
Tornin liike
Charosh'n tehtävä:
Torni liikkuu lyhyintä tietä a1:stä 2-14 askeleella h8:aan. Kuinka monta eri mahdollisuutta tähän on ?
Torni liikkuu lyhyintä tietä a1:stä 2-14 askeleella h8:aan. Kuinka monta eri mahdollisuutta tähän on ?
Re: Tornin liike
Kukaan ei näytä ruvennut laskemaan tornin liikevaihtoehtoja. Homma onkin turhan aikaa vievä ilman tietokoneohjelmaa.
Vastaus on 470 010 siirtovaihtoehtoa.
Vastaus on 470 010 siirtovaihtoehtoa.
Re: Tornin liike
Liitteessä menetelmä tornin siirtovaihtoehtojen laskemiseksi.
- Liitteet
-
- Tornin siirtojen lukumäärä.xlsx
- (15.18 KiB) Tiedosto ladattu 212 kertaa
-
- Viestit: 334
- Liittynyt: 10 Joulu 2010 13:19
- Paikkakunta: Turku
Re: Tornin liike
Kesti kirjaimellisesti kolme tuntia keksiä oikea laskutapa. En saanut Excel-tiedostosta juuri selkoa, mutta homman voi ajatella näin:
Alkupremissi
Riippumatta tarkasta liikeradasta ja käytetystä vuoromäärästä, tornin on liikuttava yhteensä 7 ruutua ylös ja 7 oikealle. Voimme siis ajatella tehtävää summalaskuna, jossa summalausekkeessa on N määrä tekijöitä, ja jonka tuloksen on oltava 7+7 = 14.
* N on siirtovuorojen määrä.
Valitaan yksi akseli tutkiskelun lähtökohdaksi
Tutkitaan aluksi millä tavoilla on mahdollista liikkua 7 ruutua vertikaalisesti. Tässä siis toistaiseksi unohdetaan kokonaan horisontaalinen ulottuvuus; olemme kiinnostuneita vain millä kaikilla tavoilla voimme liikkua A1 -> A8.
Yllä on kaikki mahdolliset kolmen positiivisen kokonaisluvun lukuryhmät, joiden summa on seitsemän. On vielä huomioitava, että kunkin lukuryhmän sisällä on N määrä permutaatioita, eli erillisiä järjestyksiä, joissa luvut voivat ryhmän sisällä olla.
Permutaatioiden summa on se eri tapojen määrä, jolla A1 ruudusta voi torni liikkua A8-ruutuun tasan kolmella siirtovuorolla. Eli tässä tapauksessa 3+6+3+3 = 15.
Vertikaalisen ja horisontaalisen liikunnan yhdistäminen
Tämä on koko laskun monimutkaisin operaatio. Laskin yksinkertaisesti yksitellen vaihtoehdot 2 vuoroa, 3 vuoroa, 4 vuoroa ... 14 vuoroa. Ja lopuksi summasin kaikkien vuoromäärien antamat vaihtoehtojen määrät yhteen.
Jokainen vaihtoehdon kohdalla on huomioitava, että meillä on kaksi erillistä ryhmää (vertikaalinen ja horisontaalinen), jotka voimme yhdistää yhteen kaavalla:
(yht_vuoromäärä!/(horis_vuoromäärä!*vert_vuoromäärä!))
Tämän lisäksi on huomioitava yhä kummankin ryhmän sisäiset permutaatiot. Kaava tämän huomioimiseksi on:
(yht_vuorot!/(vert_vuorot!*hor_vuorot!))*2*vert_permutaatiot*hor_permutaatiot
* kerroin 2 on vain jos vert_vuorot ja hor_vuorot eri suuret.
Ja sitten vain luetellaan kaikki ryhmien väliset kombot:
Yht 14 vuoroa:
14!/(7!*7!)*1*1 = 3432
Yht. 13 vuoroa:
13!/(7!*6!)*2*1*6 = 20592
Yht. 12 vuoroa:
12!/(7!*5!)*2*1*15 = 23760
12!/(6!*6!)*6*6 = 33264
Yht. 57024
jne...
Kun vuorojen 2...14 antamat permutaatioiden lukumäärät summaa yhteen, niin lopputulos on toden totta 470 010 kpl.
Alkupremissi
Riippumatta tarkasta liikeradasta ja käytetystä vuoromäärästä, tornin on liikuttava yhteensä 7 ruutua ylös ja 7 oikealle. Voimme siis ajatella tehtävää summalaskuna, jossa summalausekkeessa on N määrä tekijöitä, ja jonka tuloksen on oltava 7+7 = 14.
* N on siirtovuorojen määrä.
Valitaan yksi akseli tutkiskelun lähtökohdaksi
Tutkitaan aluksi millä tavoilla on mahdollista liikkua 7 ruutua vertikaalisesti. Tässä siis toistaiseksi unohdetaan kokonaan horisontaalinen ulottuvuus; olemme kiinnostuneita vain millä kaikilla tavoilla voimme liikkua A1 -> A8.
- 1 vuoron aikana: 1 tapa (kerralla ylös asti)
2 vuoron aikana: 6 tapaa
3 vuoron aikana: 15 tapaa *
4 vuoron aikana: 20 tapaa
5 vuoron aikana: 15 tapaa
6 vuoron aikana: 6 tapaa
7 vuoron aikana: 1 tapa (yksi ruutu kerrallaan)
- 1+1+5
1+2+4
1+3+3
2+2+3
Yllä on kaikki mahdolliset kolmen positiivisen kokonaisluvun lukuryhmät, joiden summa on seitsemän. On vielä huomioitava, että kunkin lukuryhmän sisällä on N määrä permutaatioita, eli erillisiä järjestyksiä, joissa luvut voivat ryhmän sisällä olla.
- 1+1+5 -> 3!/(2!*1!) -> 3 permutaatiota
1+2+4 -> 3!/(1!*1!*1!) -> 6 permutaatiota
1+3+3 -> 3 perm.
2+2+3 -> 3 perm.
Permutaatioiden summa on se eri tapojen määrä, jolla A1 ruudusta voi torni liikkua A8-ruutuun tasan kolmella siirtovuorolla. Eli tässä tapauksessa 3+6+3+3 = 15.
Vertikaalisen ja horisontaalisen liikunnan yhdistäminen
Tämä on koko laskun monimutkaisin operaatio. Laskin yksinkertaisesti yksitellen vaihtoehdot 2 vuoroa, 3 vuoroa, 4 vuoroa ... 14 vuoroa. Ja lopuksi summasin kaikkien vuoromäärien antamat vaihtoehtojen määrät yhteen.
Jokainen vaihtoehdon kohdalla on huomioitava, että meillä on kaksi erillistä ryhmää (vertikaalinen ja horisontaalinen), jotka voimme yhdistää yhteen kaavalla:
(yht_vuoromäärä!/(horis_vuoromäärä!*vert_vuoromäärä!))
Tämän lisäksi on huomioitava yhä kummankin ryhmän sisäiset permutaatiot. Kaava tämän huomioimiseksi on:
(yht_vuorot!/(vert_vuorot!*hor_vuorot!))*2*vert_permutaatiot*hor_permutaatiot
* kerroin 2 on vain jos vert_vuorot ja hor_vuorot eri suuret.
Ja sitten vain luetellaan kaikki ryhmien väliset kombot:
Yht 14 vuoroa:
14!/(7!*7!)*1*1 = 3432
Yht. 13 vuoroa:
13!/(7!*6!)*2*1*6 = 20592
Yht. 12 vuoroa:
12!/(7!*5!)*2*1*15 = 23760
12!/(6!*6!)*6*6 = 33264
Yht. 57024
jne...
Kun vuorojen 2...14 antamat permutaatioiden lukumäärät summaa yhteen, niin lopputulos on toden totta 470 010 kpl.
Kuningattaren liike
Sama tehtävä kuin kuninkaalla.
Kuningatar siirtyy 1-14 askeleella ruudusta a1 ruutuun h8 ( liike pitää tietenkin olla koko ajan kohti h8:aa).
Kuinka monta erilaista siirtovaihtoehtoa sillä on ?
Kuningatar siirtyy 1-14 askeleella ruudusta a1 ruutuun h8 ( liike pitää tietenkin olla koko ajan kohti h8:aa).
Kuinka monta erilaista siirtovaihtoehtoa sillä on ?
-
- Viestit: 19
- Liittynyt: 03 Joulu 2018 19:46
- Paikkakunta: salo
- Seura: ei seuraa
Re: Tornin liike
Tässä vielä yksi ratkaisu
- Liitteet
-
- TORNI LIIKKUU.xlsx
- (11.46 KiB) Tiedosto ladattu 33 kertaa
-
- Viestit: 7
- Liittynyt: 18 Heinä 2010 10:50
- Paikkakunta: Helsinki
- Seura: ESK
Re: Tornin liike
Hei!
Onko tällä kysymyksellä sinänsä mitään tekemistä shakin kanssa,no tottakai,onhan yleensä torni esim jotenkin loppupelissä tärkeä,mutta pitäisi ensin päästä loppupeliin jäkevästi.No se siitä haluan tässä yhtedessä onnitella Kalle Kiikkiä erinomaisen mielenkiintosesta shakkisuorituksesta Eestin mestaruusturnauksessa!
Terveisin!
Mikael Lembidakis
Onko tällä kysymyksellä sinänsä mitään tekemistä shakin kanssa,no tottakai,onhan yleensä torni esim jotenkin loppupelissä tärkeä,mutta pitäisi ensin päästä loppupeliin jäkevästi.No se siitä haluan tässä yhtedessä onnitella Kalle Kiikkiä erinomaisen mielenkiintosesta shakkisuorituksesta Eestin mestaruusturnauksessa!
Terveisin!
Mikael Lembidakis
Paikallaolijat
Käyttäjiä lukemassa tätä aluetta: Ei rekisteröityneitä käyttäjiä ja 11 vierailijaa