Tornin liike

[okkivas]

Charosh'n tehtävä:
Torni liikkuu lyhyintä tietä a1:stä 2-14 askeleella h8:aan. Kuinka monta eri mahdollisuutta tähän on ?

[okkivas]

Kukaan ei näytä ruvennut laskemaan tornin liikevaihtoehtoja. Homma onkin turhan aikaa vievä ilman tietokoneohjelmaa.
Vastaus on 470 010 siirtovaihtoehtoa.

[okkivas]

Liitteessä menetelmä tornin siirtovaihtoehtojen laskemiseksi.

[Jussi Hämäläinen]

Kesti kirjaimellisesti kolme tuntia keksiä oikea laskutapa. En saanut Excel-tiedostosta juuri selkoa, mutta homman voi ajatella näin:

Alkupremissi

Riippumatta tarkasta liikeradasta ja käytetystä vuoromäärästä, tornin on liikuttava yhteensä 7 ruutua ylös ja 7 oikealle. Voimme siis ajatella tehtävää summalaskuna, jossa summalausekkeessa on N määrä tekijöitä, ja jonka tuloksen on oltava 7+7 = 14.

* N on siirtovuorojen määrä.

Valitaan yksi akseli tutkiskelun lähtökohdaksi

Tutkitaan aluksi millä tavoilla on mahdollista liikkua 7 ruutua vertikaalisesti. Tässä siis toistaiseksi unohdetaan kokonaan horisontaalinen ulottuvuus; olemme kiinnostuneita vain millä kaikilla tavoilla voimme liikkua A1 -> A8.

• 1 vuoron aikana: 1 tapa (kerralla ylös asti)
  2 vuoron aikana: 6 tapaa
  3 vuoron aikana: 15 tapaa *
  4 vuoron aikana: 20 tapaa
  5 vuoron aikana: 15 tapaa
  6 vuoron aikana: 6 tapaa
  7 vuoron aikana: 1 tapa (yksi ruutu kerrallaan)

* esimerkkinä päättely ja laskukaava sille miten saamme tuloksen 15. Koska kolmen vuoron aikana liikutaan 7 ruutua, on meidän mahdollista luoda seuraavat kolme lukua pitkät summalaskut, joiden summa on 7:

• 1+1+5
  1+2+4
  1+3+3
  2+2+3

Yllä on kaikki mahdolliset kolmen positiivisen kokonaisluvun lukuryhmät, joiden summa on seitsemän. On vielä huomioitava, että kunkin lukuryhmän sisällä on N määrä permutaatioita, eli erillisiä järjestyksiä, joissa luvut voivat ryhmän sisällä olla.

• 1+1+5 -> 3!/(2!*1!) -> 3 permutaatiota
  1+2+4 -> 3!/(1!*1!*1!) -> 6 permutaatiota
  1+3+3 -> 3 perm.
  2+2+3 -> 3 perm.

Permutaatioiden summa on se eri tapojen määrä, jolla A1 ruudusta voi torni liikkua A8-ruutuun tasan kolmella siirtovuorolla. Eli tässä tapauksessa 3+6+3+3 = 15.

Vertikaalisen ja horisontaalisen liikunnan yhdistäminen

Tämä on koko laskun monimutkaisin operaatio. Laskin yksinkertaisesti yksitellen vaihtoehdot 2 vuoroa, 3 vuoroa, 4 vuoroa ... 14 vuoroa. Ja lopuksi summasin kaikkien vuoromäärien antamat vaihtoehtojen määrät yhteen.

Jokainen vaihtoehdon kohdalla on huomioitava, että meillä on kaksi erillistä ryhmää (vertikaalinen ja horisontaalinen), jotka voimme yhdistää yhteen kaavalla:

(yht_vuoromäärä!/(horis_vuoromäärä!*vert_vuoromäärä!))

Tämän lisäksi on huomioitava yhä kummankin ryhmän sisäiset permutaatiot. Kaava tämän huomioimiseksi on:

(yht_vuorot!/(vert_vuorot!*hor_vuorot!))*2*vert_permutaatiot*hor_permutaatiot

* kerroin 2 on vain jos vert_vuorot ja hor_vuorot eri suuret.

Ja sitten vain luetellaan kaikki ryhmien väliset kombot:

Yht 14 vuoroa:

14!/(7!*7!)*1*1 = 3432

Yht. 13 vuoroa:

13!/(7!*6!)*2*1*6 = 20592

Yht. 12 vuoroa:

12!/(7!*5!)*2*1*15 = 23760
12!/(6!*6!)*6*6 = 33264

Yht. 57024

jne...

Kun vuorojen 2...14 antamat permutaatioiden lukumäärät summaa yhteen, niin lopputulos on toden totta 470 010 kpl.

[okkivas]

Sama tehtävä kuin kuninkaalla.
Kuningatar siirtyy 1-14 askeleella ruudusta a1 ruutuun h8 ( liike pitää tietenkin olla koko ajan kohti h8:aa).
Kuinka monta erilaista siirtovaihtoehtoa sillä on ?

[Seppo Savikko]

Tässä vielä yksi ratkaisu

[Mikael Lembidakis]

Hei!
Onko tällä kysymyksellä sinänsä mitään tekemistä shakin kanssa,no tottakai,onhan yleensä torni esim jotenkin loppupelissä tärkeä,mutta pitäisi ensin päästä loppupeliin jäkevästi.No se siitä haluan tässä yhtedessä onnitella Kalle Kiikkiä erinomaisen mielenkiintosesta shakkisuorituksesta Eestin mestaruusturnauksessa!
Terveisin!
Mikael Lembidakis